YOhaiTÄng,1QUaningWU,1,* XIaoyiCHÖNA2 OCHHAoZHÄNGA1,2
1Jiangsu Key Laboratory of Micro och Nano Heat Fluid Flow Technology and Energy Application, School of Mathematics and Physics, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou, Jiangsu, 215009, China
2Graduate Practice Station i Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, Kina
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
Abstrakt: Vi föreslår en numerisk metod för utformning av en progressiv tilläggslins (PAL) som kan tillgodose mer personliga behov jämfört med att använda den analytiska lösningen av Laplace -ekvationen. I vår metod, hjälpfunktionenu(x, y) av en PAL erhålls genom den numeriska lösningen av Laplace -ekvationen med gräns- och länkvillkoren. Gränsvillkoret erhålls med användning av den genetiska algoritmen med ingången från det individuella kravet. Länkvillkoret bestäms med hjälp av den ändliga skillnadsmetoden med en jämnareu(x, y) på meridianen. Två exempel ges för utomhus och
Kontoranvändning. I båda fallen skjuts astigmatismområdet mot ett litet område nära linsens kant.
© 2017 Optical Society of America
OCIS -koder:(220.0220) Optisk design och tillverkning; (080.0080) Geometrisk optik.
Referenser och länkar
JT Winthrop, Wellesley och Mass, "Progressivt tilläggspektaklins," US Patent Number 4861153, 1989.
T. Steele, H. McLoughlin och D. Payne, "Progressiv tilläggsmakt", USA: s patentnummer 6776486B2, 2004.
J. Loost, G. Greiner och HP Seidel, "En variationsmetod för progressiv linsdesign", Comput. Aided Des.
30(8), 595–602 (1998).
J. Wang, "Design of Progressive Lenses-Mathematical Analysis and Numerical Methods," (Eden Prairie: University of Minnesota doktorsavhandling, 5–54 (2002).
J. Wei, W. Bao, Q. Tang och H. Wang, "En numerisk metod för variationskillnad för att utforma progressiva- tilläggslinser," Comput. Aided Des.48(3), 17–27 (2014).
Q. Wu, L. Qian, H. Chen, Y. Wang och J. Yu, "Forskning om Meridian Lines Design för progressiva tilläggslinser," Acta Opt. Synd.29(11), 3186–3191 (2009).
Y. Tang, Q. Wu, X. Chen, H. Zhang och Y. Long, "Optimering av Meridian -linjen med progressiva tilläggslinser baserade på genetisk algoritm," Acta Opt. Synd.34(9), 09220051–09220057 (2014).
Z. da,Grundläggande av variationens kalkyl (andra upplagan), (National Defense Industry, 2007), kap. 2.
H. Fan, jagThods för partiella differentiella ekvationer (civilingenjör), (China Machine, 2013), kap. 1.
WH Press, SA Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery,Numeriska recept i C: The Art of Scientific Computing(Cambridge University, 1992), sek. 19.2, 19.5.
1. Introduktion
En progressiv tilläggslins (PAL) ger sömlös tydlig syn på olika visningsavstånd. Det finns två huvudkategorier av metoder för att utforma kamrater. Man tillhör direkt metod. Till exempel Winthropet al. [1] beskrev ett system där designarna specificerade fokalkraften längs navelmästaren. Både formen på resten av linsen och krökningarna på den progressiva ytan bestäms av hjälpfunktionenu(x, y). Konturerna av hjälpfunktion påx-y Plan kallas nivåkurvor. De
Hjälpfunktion erhölls genom analytiskt lösa Laplace -ekvationen. Stålet al. [2] specificerade fokalkraften över hela ytan med användning av koniker (som en hjälpfunktion) och erhöll ytformen på PAL genom att lösa en elliptisk partiell differentiell ekvation. Det andra sättet är att bestämma PAL -ytan indirekt. Till exempel Loostet al. [3], Wang
[4], Wei [5] utformade en utvärderingsfunktion som försöker nå en balans mellan den önskade fördelningen av fokalkraft och den oönskade astigmatismen. PAL -ytan erhölls genom att numeriskt minimera utvärderingsfunktionen. I de direkta metoderna är konstruktionerna av meridianfokalkraften och nivåkurvorna två viktiga punkter. Nyligen har tekniken för att söka i den optimerade fokalfördelningen på Meridian -linjen beskrivits [6,7]. Winthropet al. och Steeleet al. presenterade de analytiska uttryck för nivåkurvorna [1,2]. Alla dessa metoder har bara två eller tre parametrar för att justera nivåkurvorna. Därför är deras förmåga att tillgodose personliga behov för synkorrigering begränsad.
Vi föreslår en metod som kan tillgodose mer personliga behov jämfört med de metoder som nämns ovan. I vårt tillvägagångssätt erhålls nivåkurvorna genom att numeriskt lösa Laplace -ekvationen med gräns- och länkförhållandena som beror på individuell situation. Det finns ett komplext samband mellan gränsvillkoret för Laplace -ekvationen och astigmatismen. Gränsvillkoret erhålls med användning av den genetiska algoritmen med ingången från det personliga kravet. För att minimera astigmatismen på Meridian -linjen föreslår vi ett jämnare länkvillkor med variationsprincipen och metoden för begränsad skillnad. Metoden ger flexibilitet och effektivitet för bestämning av en individualiserad lins.
2.Design av nivåkurvorna för en progressiv tilläggslins
Ytan på en PAL är uppdelad i fyra regioner (fig. 1). Avståndsområdet 1 i den övre delen av linsen har en relativt låg fokalkraft. Det nära området 2 är 10-18 mm under avståndsområdet och har en relativt hög fokalkraft. Den progressiva korridoren 3 ansluter avståndet och nära områden. Astigmatismområdena 4 är till vänster och höger om den progressiva korridoren med relativt allvarlig astigmatism. Skillnaden i fokal kraft mellan referenspunkten A i avståndsområdet och referenspunkten B i det nära området betraktas som tilläggskraft (tillägg) av PAL. Avståndsområdet, nära området och progressiv korridor kallas effektiva synregioner. Astigmatismområdena kan inte användas för att korrigera visionen för en bärare.
Fig. 1. Fyra regioner i en kompis.
Ursprunget o är mitten av linsen ochx-y Planet är tangent till linsen. X-axeln pekar nedåt i riktning mot att öka fokalkraften. Dez-Axis pekar ut från uppsatsen mot läsaren. Meridian -linjen ansluter punkter A och B. Avståndet mellan punkt A och B är längden på den progressiva korridoren.
Den direkta designmetoden är uppdelad i flera steg. Det första steget är att designa Meridian Focal Power (längs Meridian -linjen) och hjälpfunktionenu(x, y). Den andra
Steget är att bestämma krökningen och krökningscentren vid varje punkt på PAL -ytan. Det sista steget är att få vektorhöjdenz(x, y) .
Fokalfördelningen ska vara slät över linsytan, så hjälpfunktionenu(x, y) måste distribuera smidigt. Ett kriterium för jämnhet kräver att den kvadratiska summan av de partiella derivaten ¶u / ¶x och ¶u / ¶y vara ett minimum, dvs.
Dirichlet -integral är minimum. Enligt Euler-Lagrange-variationsprincipenu(x, y) uppfyller Laplace -ekvationen
Vi föreslår att lösa ekv. (1) Använda numerisk teknik. Gränsvillkoret för Laplace -ekvationen optimeras med den genetiska algoritmen medan länkvillkoret erhålls med hjälp av metoden för begränsad skillnad.
2.1 Gränsvillkoret för Laplace -ekvationen
Kontrollpunktenuk representerar en av rutpunkterna på gränsen för beräkningsdomänen ω och definieras som
Härh är relaterad till längden på den progressiva korridoren,L är avståndet från punkt A till den ursprungliga punkten o, ochpk är kontrollparametern för den genetiska algoritmen som varierar från 0 till 1.K är antalet "kromosomer" i den genetiska algoritmen. Sekvensen för alla 'kromosomer'h - L .
pk utgör en vektor som en "individ". Värdet påuk varierar från -L till
Målfunktionenf av den genetiska algoritmen uppfyller vektorns fördelar [7]
Här är F1 den maximala astigmatismen i PAL. Den maximala astigmatismen bör uppfylla kravet f* =r P - P , varP ochP är de fokala krafterna vid punkterna A och B, 1A B A B ochr är viktningsfaktorn för den extra kraften. Fi ( i = 2, 3L6) är medelvärdena för astigmatism i avståndsområdet, nära området och progressiv korridor och tvåastigmatismområden respektive. Fi ( i = 7, 8, 9) är medelvärdena i avståndsområdet, nära området respektive progressiv korridor. F* är motsvarande objektiva värden. Fi Förändring i slingan av genetisk algoritm för att söka i den optimerade gränsenvillkor.a1 ,...,a6 är motsvarande områdes viktningsfaktorer för astigmatismen.a7 ,a8 ocha9 är motsvarande områdes viktningsfaktorer för fokalkraftskillnaden.r ( 0.75 £ r £ 1) ochai ( 0.1 £ ai £ 2) är relativa värden och bestäms av bärarnas preferenser. För utomhusaktiviteter behövs ett brett avstånd, så viktningsfaktorna2 bör vara större äna3. För kontorets aktiviteter, ett mindre avståndsområde och en störreNära området är önskade, så viktningsfaktorna3 bör vara större äna2. I vilket fall som helst vill vi ha astigmatismen så lite som möjligt men ansträngningen begränsas av annan efterfrågan såsom dimensionerna av tydligt avstånd och nära regioner. Egentligen är det en avvägning bland avståndsområdet, det nära området och astigmatismen.
2.2 Länkstillståndet för Laplace -ekvationen
I föregående konst [1], hjälpfunktionenu(x, y) på meridianlinjen mellan punkterna A och B är som följer
För att minska PAL: s astigmatism försöker vi hålla fokalkraften stabil
Beyond Point A och Point B på Meridian -linjen. Funktionu(x, 0) Bör ändras mer
mjukt. Vid punkterna A och B,u(x, 0) är lika medx, sluttningarna bör vara lika med noll,u(x, 0) bör ha högre ordningN av de första derivaten som inte är vanlig. På meridianlinjen mellan punkterna A och B är de absoluta värdena för differentiella derivat
minimum när beställningen är mindre änN eller lika medN .
Vi minimerar summeringen av derivatens kvadrat med ordningen från 1 till n
Det analytiska uttrycket avu(x, 0) för minsta ekv. (5) uppfyller Euler-Poisson-ekvationen [8]
Från ekv. (7) och ekv. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) i ekv. (10) erhålls. Sedan hjälpfunktionenu(x, 0) på Meridian -linjen erhålls.
Ytterligare,ui, j på två sidor av Meridian -linjen med breddd bestäms av det ändliga skillnadsschemat [9]. Vi använder ett fyrkantigt rutnät (xi , y j ) för att numeriskt beräknaui, j .
Givenui, j = u(xi , y j ), den centrerade ändliga skillnadsformeln används för det andra derivatet
Här äy är stegstorleken. Antar att den symmetriska axeln hosu(x, y) är lika medui, j -1. Omarrangera ekv. (11), vi får meridianlinjen,ui, j +1
(12) Baserat på Laplace -ekvationen och lägg till en optimeringsfaktorau , vi fåru = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Då värdena påui, j ± n n = 1, 2, 3 ... analogiseras i sin tur. Värdena påu(x, y) Mellan de vänstra och högra gränserna för den progressiva korridoren erhålls. Bredden på den progressiva korridoren och optimeringsfaktorernaau Förändring efter olika personliga behov.
Numerisk lösning av Laplace -ekvationenLaplace -ekvationen med gräns- och länkförhållandena som erhållits ovan kan skrivas somy2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Här är domänen ω en fyrkantig region tangent till kompisen,BG gränsen,DL Länkstillståndsområdet, tillstånd
f(xG , yG) det optimerade gränsvillkoret ochj(xL , yL )
Länken Laplace -ekvationen ändras till en uppsättning skillnadsekvationer med det ändliga skillnadsschemat.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) härg = Äx = Äy är steget och sidolängden på kvadratet Ω ärmgmedm ett heltal.
Linjära ekv. (15) löses genom den successiva täckningsrelaxationen (SOR) -metoden [10]. SOR -tekniken använder en repetitiv serie svep över nätet för att konvergera på en lösning. Konvergenshastigheten beror på värdet på överkopplingsfaktorn (ORF), och ett föredraget värde för ORF bestäms experimentellt. En viktig fördel med SOR -tekniken är att den når konvergens i en tid proportionell mot kvadratroten för antalet nätpunkter. Denna funktion innebär att till blygsam kostnad i beräkningstid kan en tillräcklig nätdensitet implementeras för att SOR konvergerar till lösningen.
3. Exempel och diskussion
Vi tillämpar den föreslagna metoden på två exempel för att visa hur en specifik fördelning av fokalkraften och astigmatismen hos en PAL uppnås genom motsvarande gräns- och länkförhållanden. I det första exemplet använder bäraren PAL för utomhusaktiviteter. Därför behövs ett brett avståndsområde. Enligt receptet har PAL en -2. 00 Diopter -fokuskraft i distansområdet och en + 2. 00 Diopter -tilläggseffekt. Indexet för brytning av linsmaterialet är 1,523. PAL: s främre yta är en sfärisk yta med + 2. 00 Diopter -fokuskraft. Bakytan är en progressiv tilläggsyta med -4. 00 Diopter -fokuskraft i avståndsområdet och -2. 00 Diopterfokal i det nära området. Värdena påh ochL är 34 respektive 17.
För att jämföra prestandan för den föreslagna metoden med de tidigare analysmetoderna beräknas en progressiv yta med Winthrop -metoden. Lösningen av Laplace -ekvation är ett analytiskt uttryck med parametrarh , L , x ochy . Nivåkurvorna är
visas i fig. 2.
Fig. 2. Nivån kurvor erhållna genom att analytiskt lösa Laplace -ekvationen.
Vektorhöjdenz(x, y) erhålls av en serie ekvationer. Baserat på grundskolan
Differentialgeometri, fokalkraften och astigmatismen hos den progressiva ytan beräknas. Konturerna av dem visas i fig. 3. Längden på progressiv korridor är cirka 16 mm. Bredden på Clear Vision Area (astigmatism<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mm är cirka 26 mm vilket inte är tillräckligt brett för utomhusvision.
Fig. 3. Fokuskraften (A) och astigmatism (B) i den progressiva ytan med Winthrop -metoden.
För att få ett bredare distansområde, viktningsfaktornai av objektivfunktionen för att bestämma gränsvillkoren för Laplace -ekvationen väljs såsom visas i tabell 1. Gränsbetingelserna erhållna med den genetiska algoritmen visas i fig. 4 och fig. 5.
Fig. 4. Gränsförhållanden på vänster och höger sida.
Fig. 5. Gränsförhållanden på avståndet och nära zoner.
Genom att lösa Laplace -ekvationen numeriskt med gräns- och länkförhållandena, de optimeradeu(x, y) erhålls. Konturerna av optimerade
u(x, y) visas i fig 6.
Jämför med fig. 2 är området bredare där värdet avu(x, y) Det är mindre än -14.
Fig. 6. Konturlinjer av optimeradeu(x, y) i det första exemplet.
En gångu(x, y) erhålls,z(x, y) kan härledas med ovanstående designsteg. Konturerna för fokalkraften och astigmatismen visas i fig. 7. Den optiska prestandan för den progressiva ytan ges i tabell 3. Man kan se att avståndsområdet (fokalkraft<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mm är cirka 46 mm vilket är mer lämpligt för utomhusvision.
Fig. 7. Fokalkraften (A) och astigmatism (B) i den progressiva ytan i det första exemplet.
PAL i det första exemplet har tillverkats med en CNC -gravering och en poleringsmaskin. De optiska egenskaperna mäts med en Rotlex -fri formverifierare (FFV) för att tillhandahålla fokalkraft och astigmatism (eller kallas cylindern) i PAL. Konturerna för den testade fokalkraften och astigmatismen visas i fig. 8. PAL: s optiska prestanda visas i tabell 3. Det är mindre än 0. 0 2 Diopter att skillnaden mellan tilläggskraften mellan den progressiva ytan och den tillverkade PAL. Avvikelsen för den maximala astigmatismen är mindre än 0,02 diopter. På grund av påverkan av krökningen på den främre ytan reduceras bredden 12 mm och 2 mm i avståndszonen (astigmatism<0.5 diopter, x = -10 mm) och nära zon (astigmatism<0.5 diopter, x = 18 mm) av den tillverkade PAL än den för den progressiva ytan.
Fig. 8. Fokalkraften (A) och astigmatism (B) i PAL som testades av FFV.
I det andra exemplet är de grundläggande parametrarna desamma som de första. Palan används på kontoret. Därför behövs ett större nära område och en bredare korridor. Breddend är inställd på att vara 9 mm istället för 6 mm som i det första exemplet. Viktningsfaktorerna baserade på behovet av nära syn visas i tabell 2. Gränsbetingelserna erhållna med den genetiska algoritmen visas i fig. 9 och fig. 10. Konturerna av optimeradeu(x, y) visas i fig. 11.
Fig. 9. Gränsförhållanden på vänster och höger sida.
Fig. 10. Gränsförhållanden på avståndet och nära zoner.
Fig. 11. Konturlinjer av optimeradeu(x, y) i det andra exemplet.
Figur 12 visar konturerna av fokalkraften och astigmatismen i det andra exemplet. Tabell 3 är den optiska prestandajämförelsen mellan det första exemplet och det andra exemplet. Bredden på avståndsområdet i det första exemplet är 24 mm bredare än det för det andra exemplet vidx = -10 Mm. Bredden på nära området i det andra exemplet är 8 mm bredare än det första exemplet vidx = 18 Mm. Den maximala astigmatismen i det andra exemplet är mindre än för det första exemplet, och korridorens bredd är bredare.
Fig. 12. Fokalkraften (A) och astigmatism (B) i den progressiva ytan i det andra exemplet.
Tabell 1 och tabell 2 är viktningsfaktorerna baserade på bärarens olika behov. Parametrarna förr ochai av objektivfunktionen bestäms av bärarens behov och preferens. Astigmatismviktningsfaktorna2 väljs ett större värde för utomhusaktiviteter. Större värden på viktningsfaktorernaa3 , a4 , a5 ocha6 väljs för kontorsbruk.
4.CONCLUSION
I denna studie har vi utvecklat en ny designmetod som har mer kontroll över hjälpfunktionen och därmed möter mer individualiserad synkorrigering. För att uppnå målet löser vi Laplace -ekvationen numeriskt. Gräns- och länkvillkoren är inställda för att uppfylla specifika krav. Som ett resultat kan ett specifikt behov av avståndets dimensioner och fokala krafter och nära regioner tillgodoses i PAL -designen i större utsträckning. Storlekarna och fördelningarna av astigmatismområdena förbättras också med vår strategi. Exemplen visar förmågan till vår strategi.
Finansiering
National Natural Science Foundation of China (NSFC) (61378056); Natural Science Foundation of Higher Education Institutions of Jiangsu Province (China) (17KJA140001); PAPD -programmet i Jiangsu -provinsen; Jiangsu nyckeldiscipliner från tretton femårsplan (20168765); Suzhou Key Laboratory för lågdimensionella optoelektroniska material och enheter (SYG201611); Suzhou Key Industry Technology Innovation Plan (SYG201646); USTS Innovation Center.
Erkännande
Författarna är också tacksamma till professor Qian Lin från Soochow University för värdefulla råd och Dr. Cao Zongjian från Augusta University i USA för redaktionella förslag.